формулы, дающие приближённое выражение функции
у =
f (
x) при помощи интерполяции (См.
Интерполяция)
, т. е. через интерполяционный многочлен
Рn(
х) степени
n, значения которого в заданных точках
x0,
x1, ...,
хn совпадают со значениями
y0,
y1, ...,
уn функции
f в этих точках. Многочлен
Рn(
х) определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.
1. Интерполяционная формула Лагранжа:
Ошибка, совершенная при замене функции f (x) выражением Pn(x), не превышает по абсолютной величине
где М - максимум абсолютной величины (n + 1)-й производной f n+1(x) функции f (x) на отрезке [x0, xn].
2. Интерполяционная формула Ньютона. Если точки x0, x1, ..., xn расположены на равных расстояниях (xk = x0 + kh), многочлен Pn(x) можно записать так:
(здесь x0 + th = х, а Δk - разности k-го порядка: Δk yi = Δk - 1 yi +1 - Δk - 1yi). Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения у, соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от x0. Эта формула удобна при интерполировании функций для значений х, близких к x0. При интерполировании функций для значений х, близких к наибольшему узлу хn, употребляется сходная формула Ньютона для интерполирования назад. При интерполировании функций для значений x, близких к xk, формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).
Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой цели к разделённым разностям (см.
Конечных разностей исчисление). В отличие от
формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой
k-й член
формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов
формулы (в этом преимущество
формулы Ньютона).
3. Интерполяционная формула Стирлинга:
(о значении символа μ и связи центральных разностей δ
m с разностями Δ
m см. ст.
Конечных разностей исчисление) применяется при интерполировании функций для значений
х, близких к одному из средних узлов
а; в этом случае естественно взять нечётное число узлов
х-k, ...,
х-1,
x0,
x1, ...,
xn, считая
а центральным узлом
x0.
4. Интерполяционная формула Бесселя:
применяется при интерполировании функций для значений х, близких середине а между двумя узлами; здесь естественно брать чётное число узлов х-k, ..., х-1, x0, x1,..., xk, xk + 1, и располагать их симметрично относительно a (x0 < а < x1).
В. Н. Битюцков.